学过高等数学的朋友应该都知道,lnx的麦克劳林公式是不存在的。因此很多初学者就想当然地以为lnx的泰勒公式也是不存在的,或者说是不可求的。然而,实际情况并不是这样的。麦克劳林公式只是泰勒公式在x0=0的特殊形式。lnx的麦克劳林公式不存在,但lnx的泰勒公式却未必不存在,也未必不可求。

首先解释一下lnx的麦克劳林公式为什么不存在。那是因为麦克劳林公式要用到函数在x=0函数值和各阶导数值,而lnx在x=0没有意义,自然就不存在x=0的函数值和各阶导数值,因此lnx在x0=0的麦克劳林公式不存在。看到这里,大家应该知道为什么lnx的泰勒公式未必不存在了吧。因为lnx在x0的任意点都有定义,且存在任意阶导数,所以lnx在x0的任意点的泰勒公式,都是存在的。那么它是不是可求的呢?看完下面这道题,您就会明白了。题目是这样的:

分析:由于许多初学者(包括不久前的老黄)都以为lnx的泰勒公式不存在,或者不可求,所以解决这个问题,就会刻意避开lnx的泰勒公式。就连教材,也是利用ln(1+x)的泰勒展开式,来解决这个问题的。下面直接分享教材的解法,再来分析教材为什么要这样解。

首先,提供ln(1+x)的麦克劳林公式,以做参考,这个公式是要求记住的:

【注意高阶无穷小o(((x-2)/2)^n)和高阶无穷小o((x-2)^n)在意义上是等价,因为无穷小量的系数1/2^n并不影响它的阶】

继续分析:显然,教材并不是想告诉大家,lnx的泰勒公式是不可求的,而是想告诉大家,利用换元法,结合ln(1+x)的麦克劳林公式,解决这个问题更加简便。但是初学者哪里懂得这么多,看到教材也刻意避开lnx的泰勒公式,就会更坚定地以为,lnx的泰勒公式不存在或不可求了。下面老黄就演示第二种解法,直接求lnx的泰勒公式,来比较一下,看看教材的方法是否真的比较简便。