泰勒公式和拉格朗日中值定理都是属于微分中值定理的内容。《老黄学高数》系列视频从第175讲开始,到第211讲都在讲这方面的内容。其中包括三大微分中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理,还有泰勒公式的两种形式以及麦克劳林公式等内容。如果你对这方面没有基础,可以从这套学习视频中系统地学到所需的知识。

这些知识都是有其内在联系的,虽然它们的联系在学习视频中通过定理的证明和例题等,都有涉及,但其内涵还是要靠平时的练习来加强理解的。下面就是一道可以运用泰勒公式,也可以运用拉格朗日中值定理解决的应用题。老黄会为你分析两种解法,希望你能从中感受到泰勒公式和拉格朗日中值定理的联系。

证:记ξ∈(0,a),使f(ξ)最大, 则f’(ξ)=0.【二阶可导函数的最大值点,肯定是极大值点,所以导数等于0,这一步是两种方法共有的】

f’(x)=f’(0)+f”(ξ1)x,【对泰勒公式求导,这个方法估计初学者一般想不到】

f’(ξ)=f’(0)+f”(ξ1)ξ=0,【代入x=ξ,这一步很关系。而且这一步其实就是f(x)在[0,ξ]上的拉格朗日中值公式,你发现了吗?】

f’(x)=f’(a)+f”(ξ2)(x-a), f’(ξ)=f’(a)+f”(ξ2)(ξ-a)=0, f’(a)=-f”(ξ2)(ξ-a),【其实可用“同理”,来直接得到这一步的结论。来到这里,聪明的你应该知道接下来该怎么做了吧!所谓水到渠成嘛】

f’(0)=f’(ξ)-f’(0)=f”(ξ1)ξ ≤Mξ,【这是在[0,ξ]上运用拉格朗日中值定理公式的变形,包括取了绝对值】

可以看到,方法二用拉格朗日中值定理证明简便得多,但这类题目并非都可以用这种方法解决的。当拉格朗日中值定理搞不定时,你就不得不考虑使用柯西中值定理,甚至是泰勒公式了。三种方法,可以说是三个层次,也对应着三种难度。在这个过程中,你发现拉格朗日中值定理和泰勒公式之间的联系了吗?